6.3. シンプソン則
関数 $ f(x) $ の $ a, b $ 間の $ n $ 個の微小区間を, 二次曲線で近似し面積を合計する.
$ 3 $ 点 $ (x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)) $ を通る二次曲線の方程式 $ g(x) $ は,
で表される(ラグランジュ補間 *1).
$ x_1 - x_0 $ を $ h $ として, 右辺第1項を積分すると
同様に右辺第2項は
同じく第3項は
よって, 関数 $ g(x) $ の $ x_0, x_2 $ 区間の定積分は
と表すことができる.
まとめると, 関数 $ f(x) $ の $ a, b $ 間の $ n $ 個の微小区間を, 二次曲線で近似し面積を合計する式は以下のとおり.
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